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城市究竟因何生长?其背后机制是什么? 城市科学系列论文解读之四
时间:2019-12-30 11:32:02
发布者:一盏毒沫
所属领域:论文解读  城镇化  网络化  
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正文
article overview

《Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins综述与讨论

「昊点城市创新研究院」杨鹏程、陈磊  2019年 | 12月30日期


导  

      北京师范大学张江老师是将复杂性科学和网络分析方法应用于城市系统研究的学术先锋,也是科普大号集智俱乐部的创始人。无论是在生物界、商业世界还是城市等复杂系统,在系统的某项指标X与系统规模N之间都显示存在一个普适的缩放法则:


      这条规律已经被大量的经验数据所证实,这条规律的背后机制是什么?城市生长的动力学是什么?



1:张江,北京师范大学系统科学学院教授、集智俱乐部的创始人,集智学园(北京)科技有限公司创始人兼董事长、曾任腾讯研究院特聘顾问,复杂系统、人工智能的研究者与布道者


      基于主体的建模仿真方法(AGENT-BASED MODELING)允许我们在特定的环境下模拟某些代理的行为,是一个较好的利用主体间基于简单规则的微观交互行为涌现出中观结构和宏观特征的方法,近年来在城市交通、疾病传染等方面得到了较多应用。有一个早期的成功案例是"寻找糖"(Sugarscape),是1995年由弗吉尼亚州费尔法克斯的经济学家Robert Axtell和纽约大学(NYU)的Joshua Epstein共同开发的,以验证是否可以从零开始构建一种经济形式,就像生物学家师徒在培养皿上创造出试管生命一样,能否在电脑模拟的硅片里创造出经济事件,这个实验在“21世纪的国富论”《财富的起源》中被重点提及。他们将基于多主体的模型简化为一组简单的主体围绕一个网格移动寻找"糖"——一种在某些地方很丰富、在另一些地方很稀缺的食品类资源。尽管这个模型很简单,但是却产生了令人惊讶的复杂的群体行为,例如迁移、战斗和邻居隔离。


图2 糖域上所呈现的秩序,资料来源:爱泼斯坦和阿克斯特尔(1996)



       张江老师2015年发表在Nature Scientific Report期刊上发表了论文《Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins》,文中提出城市生长模型SCA(spatial-constrained attachment),并考虑了拥堵效应和新生人口的成长概率,为缩放法则的一个理论解释。

                                               ——须菩提


1

SCA模型

        在欧式空间里边长为L的d维立方体Ld中,于坐标原点设置初始节点(node)作为种子在每个时间区间t内,立方体Ld内将被随机投放新节点P,坐标xp=(x1,x2....,xd)。P只有在与已存任意一个个节点Q的距离|xp-xq|<r的条件下才能存活,然后成为网络(network)的新成员,远离集体的“种子”P是不能“生根发芽的”。红色点是新撒下的种子,该种子只有在于原有的三个节点的其中任何一个距离小于r的时候才能存活,网络的规模因此由3个节点增加到4个节点。


3a.二维平面上的SCA模型示意图 维度d=2,b. 根据SCA模型得到的计算机模拟二维网络,模拟过程中 r=1, t=3625, N=100


       图3a 中红色点为新放置的点P,其它点代表原有节点。实线为原有的链(link 或 edge),虚线为新增的链,圆圈代表节点之间发生相互关系的最大半径,落在圈内的点可以发生“粘结”加入网络,引发网络的生长。如果新节点P落于圈外,则P点不能存活。一些具体的复杂系统的比如城市、生物体,还有一些比较抽象的系统比如食物链、网上社区等,SCA模型中的“依靠集体才能生存”的假定都是基本适用的。

      图3b是根据SCA模型设定的条件,通过计算机软件模拟得到的包含100个节点的二维空间网络。图中的t=3625表示得到图中的结果经过了3625步模拟计算,r=1表示新生节点与网络中原节点最近距离小于1即存活。

      从初始种子开始,每个时间间隔t增加一个球状节点P,当t趋于正无穷时,在达到热力学稳定状态的条件下网络最终会长成球形(d维空间内)。

      以三维球体为例,R(t)是t时刻的球形网络半径,球体表面积~R²。按照SCA模型假设,每隔一个单位时间系统就随机增加一个新节点P,只有P落在球体表面附近时网络才能够增长。单位时间内,网络更新的发生机率和球表面积成正比,即~R²,对应于网络更新时间间隔△t~1/R²。因为网络表面发生一次更新,仅仅覆盖了球表面~1/R²的份额,因此还需要再发生~R²次更新才能使球体半径R(t)增长一个长度单位。R(t)增长一个单位的平均时间~△t*R²~1,即网络的半径增长是匀速的,这个结论推广到d维欧氏空间也成立。简单地讲,球面大的时候,随机撒下的结点落到球面附近的概率大,但是需要覆盖的面积也大;球面小的时候,结点落到前面附近的概率小,但是需要覆盖的面积也小。因此,只要“撒种子”是匀速的,球半径的增长也是匀速的,球半径与生长时间呈现正比例关系。

即:  R(t)~t                          

      这表明在d维空间内,t时刻网络的体积:V(t)~t^d 。也就是说,二维平面情况下,网络的占地面积和生长时间的平方是成正比的;三维立体空间中,网络的所占有的空间和生长时间的立方成正比的。

     衡量网络规模大小的是网络内部的节点总数,这不仅与网络的体积有关,还取决于网络内部的节点密度。各项同性的条件下,网络从原点开始生长,到t时刻网络刚刚扩张到半径为R(t)的d维空间球面边界。显然,在边界上只有刚刚撒下的种子,密度接近于零,而网络内部不但有新种子还有原有存活下来的种子。因为生长时匀速的,种子的密度从球心到球面按线性规律下降到零。如果表现在一维直线上,网络从中心向两侧发展,其密度分布应该是这样的:

      起始时刻 种子数N=1:0 0 0 0 1 0 0 0 0

      t时刻 种子数 N=15:0 1 2 3 4 3 2 1 0

      d维空间内全网络总的节点数N就是在全体积内对各个位置处体积微元dσ内的节点密度μ(p,Θ,t)进行积分,结果是与时间的d+1次方成正比:N(t)~t^d+1

      网络中的很多性质是和内部节点间的交互密切相关的,这可以由网络内部节点之间的边(或者称为链)来描述。如果体积微元dσ内(p,Θ)的节点密度为μ(p,Θ,t),由于一条边是由两个节点联结而成,因此边的密度近似等于点密度的μ平方,即:v(p,Θ,t)~μ(p,Θ,t)² 。同样,通过对全网络进行积分得全网络的总边数与生长时间的d+2次方成正比例关系: E(t)~t^d+2           城市的规模效应一般被认为是对应于网络内总边数 E(t),边的数量越多表明节点间可能的交互越多,也就越能产生规模效应。网络规模的大小则可以通过网络内节点的数量N(t)表征。根据 E(t)~t^d+2 和 N(t)~t^d+1,与的关系为:

E(t)~N(t)^d+2/d+1                             

        如本文一开始所述,E(t)决定了很多网络系统的指标,因此这个关系式结果等于从理论模型上验证了缩放公式X~N^γ ,缩放因子d+2/d+1>1,属于超线性缩放。对于常见的二维空间(城市、互联网通常被看作是二维空间中发展),γ=4/3。

       网络体积 V(t)~t^d与网络节点数N(t)~t^d+1之间的显然有:V(t)~N(t)d/d+1 ,这是一种亚线性缩放,表示规模化后系统的空间利用率提高了。

       E~N 以及V~N之间的缩放是某个时刻t下不同规模网络个体之间的缩放规律,与网络的形成历史无关。只要是体积微元内的边密度是点密度的平方,v(p,Θ,t)~μ(p,Θ,t)² ,那么前述的缩放关系就是存在的,当然缩放指数γ不会是严格的(d+2)/(d+1)和d/(d+1)。

      根据N(t)~t^d+1可得网络规模的时间成长规律:t~N(t)^(1/d+1)和dN(t)/dt~N(t)d/d+1 ,这意味着随着网络规模越大,其节点数量的增加速度越快。缩放规律在生物、城市、互联网等多种系统都到了印证,实际数据和理论结果比较如图4。图4a为网络社区Delicious Community (美食社区)用户数量N与时间T、用户使用的标记数量以及活动的累积量之间的缩放关系。


图4 网络社区Delicious community的缩放行为 a.实际结果 (2003.2.1—2006.11.8)  b.模拟结果 (r=1)

A: 活动的累积量 T:经过的总时间   G:用户使用的标记的累积数量  N:社区用户总数



       网络社区的被看作为2维网络,所以有d=2,其缩放关系为t~N(t)^1/3, V(t)~N(t)^2/3 , E(t)~N(t)^4/3,分别对应于图4b中的斜率1/3,2/3,和4/3 (图4b中的V和t的符号应该是标注反了,原文图如此),与图3中的经验值分别为0.22,0.91和1.19有偏差,但总体上符合缩放法则。



—2

模型的延伸


       SCA基本模型定性反映了复杂系统的超线性和亚线性缩放行为,但是在缩放指数γ上理论和经验数据还是存在一定误差(图2中的网络社区的结果就与理论值有偏差)。经验表明,城市系统的超线性缩放指数平均1.17,小于理论值为4/3。这类误差可以被归结于城市等实际的复杂网络系统往往不允许在网络边界内放置无限多个节点。据此,作者对SCA模型加以修正:即便新增节点与网络现有节点空间位置匹配,也不一定能存活,而是有一个存活率,存在拥挤效应:当新生节点与邻节点的最近距离小于设定值时,也不是都可以存活的,而是有一个与落点处节点密度μ相关的存活率μ(p,Θ,t)^-a。拥挤因子α为正,表示落在密度高的地方新节点更不易存活,α为零则退化为最初的基本SCA模型。引入拥挤因子后,用类似的数学推导可以得到修正后的缩放关系式:

      E(t)~N(t)^1+1/1+(1+a)d          

      以及:

           V(t)~N(t)^(1+a)d/1+(1+a)d 

      a=0时的缩放结果和修正之前相同,当α增加时,E、N之间和V、N之间缩放指数的变化趋势是从相反方向对称地趋近于1,而且由一个指数可以预测另外一个指数,这显示了亚线性缩放和超线性缩放其实是一枚硬币的正反两面。



—3

SCA模型应用于城市


        SCA模型应用于模拟城市生长时,需要引入一个位于0和1之间的新变量ε∈[0,1],表示新生节点P存活后,有ε的概率移动到远处并成为独立的生长核(这种特权只针对新生节点P,对网络中现有的节点是不适用的)这样一来,一段时间以后,空间中会出现从多个种子为核心生长出来的多个城市。不引入ε的话,因为新节点只会依附于老节点簇而存在,这样模型会导致空间内只有一个团簇的情况,这不符合城市发展的现实。

     城市化进程是在二维平面上进行的,经过多个成长步骤后,在空间充分宽裕的情况下,团簇的面积是符合一定的理论概率分布的。图5a是美国中南部某地区的卫星夜光图,城市的面积分布可以从发光团簇的面积分布体现出来,而团簇内边的数量则反映团簇的亮度,亮度和面积之间符合E与N之间的缩放公式:

E(t)~N(t)^1+1/1+(1+a)d,二维空间中d=2。

    图5b是引入α、ε两位因子(α=1.5,ε=0.03)之后的模拟结果;图5c是团簇亮度与团簇面积的缩放关系,蓝色线和点代表实际值,紫红色线和点代表模拟值;图5d则是团簇面积分布曲线的实际观测值和理论模型的模拟值。


图5 修正后的SCA模型模拟结果与美国南部某地区的城市夜光图比较

a.城市夜光图                   b.修正后SCA模型模拟结果  

c.团簇亮度的实际值和拟合值     d.团簇面积分布


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论文观点讨论


      论文提出了一个系统生长模型SCA,经过严密的逻辑推导,在没有引入参数的情况下,从理论上证明了城市、生物体等复杂系统普遍存在的缩放法则,这个成就是很了不起的。

      二维平面内SCA模型得到的缩放因子和城市实际的缩放因子略有不同为了能更贴切的反映城市发展的实际情况,文章对SCA模型进行了修正,引入两个因子。一个是α因子用于表示拥挤效应,当α→∞的时候,表示系统内部十分拥挤已经无法容纳新增元素;另一个是ε因子用于表示新生元素独立成长的概率。通过对美国南部卫星夜光图的模拟,通过调整α和ε两个参数,得到了与实际比较相符的结果。

       当a=1.5(2+2a)/(3+2a)=5/6,V1(s)~N1(s)^5/6E1(s)~N1(s)^7/6这个数值最符合经验的城市缩放指数但是,当α=1.5时,图3c中的直线斜率却是1.21而不是理论的7/6,作者没有明确说明这个α=1.5到底是对普遍的城市缩放规律讲的,还是对图5d的拟合结果讲的。而ε=0.03的结果表明,能够独立成核的新节点只有3%,这也印证了城市的强大聚集效应。

       尽管过修正后的SCA模型取得了很大的成就,但模型主要在以下几个方面不太符合实际,尤其是中国的城市发展情形,期待进一步的研究优化。

     (1)修正后的SCA模型仍是按一定时间间隔随机在空间内平均播种,然后认为撒下的种子如果离团簇较近则加入该团簇。

        实际上在应用于城市分析时候,如果把新生人口看成种子,因为新生儿只要么出生在大城市,要么出生在村镇,不会出生在森林和农田,这个种子并不是按空间随机撒下的。也就是说,研究城市化的时候,新生节点一开始就是在某个团簇中出现,并不是在空间内随机分布的,尤其是对于类似中国这样有着几千年历史的国家。这有可能带来更强的规模效应。

      美国加拿大等新大陆的国家原本是荒原,城镇形成于近两三百年的殖民时期。新的殖民者一批一批地先后迁移到一片荒原建立定居点的时候,确实有些类似SCA模型的随机撒种子的过程,而且美国空间足够大,各城镇之间距离足够远,远到可以近似看成是独立发展的。这也是模型更好的适用于地广人稀的美国中南部地区作为例子的一个原因。但是在中国就不一样了,中国各个县级以上城市大多有一千年以上的定居历史,此外还有大量的数百年历史以上的村庄,所有的“新生种子”都是在某个大小团簇里产生,不存在模型里指出的“因为诞生地点远离现有团簇而不能存活”的情况。

    (2)SCA模型认为已经形成团簇的节点不会离开一个团簇再加入另外一个团簇,只有新来的团簇才会独立成核。

      模型经过引入ε因子修正后,各个团簇也是独立生长的,不会出现一个团簇从另一个团簇抢夺成员的情况,模型的这个预设是和中国的城市化进程实际不太相符。中国所有的居民都是在某个村、镇或者城市出生。村镇当然也属于团簇,其成员因为比如工作或者后代的教育等因素,会选择离开老家的村镇到城市定居生活,这是中国正在发生的城市化进程。也就是说,中国的城市化不是新种子撒下加入现有团簇的过程,而是新生种子产生于现有的团簇,然后离开现有团簇去寻找新的团簇的过程。改革开放40多年来,中国各地的城市化进程不是均匀的,北上广深等都市圈的人口不断流入导致规模不断扩大,而在一些边远地区、欠发达地区的城市则因为人口流失而凋敝。

    (3)人口出生并不是像SCA模型中的随机撒种子过程。SCA模型种子的供应是无限的,这相当于一个国家的人口永远有一个恒定的正值自然增长率,这不符合实际情况。

      经济发展到一定程度,受到资源、观念等影响,生育率会降低的以致引起国家人口负增长。这相当于空间内不但可能会断供新生种子供城市生长,而且还可能从空间内定期“抽掉”团簇内现有的节点引发团簇规模自然收缩,这正是在很多西方国家和中国一些地区正在面对的现实。无论是初始的SCA模型还是用α和ε修正后的SCA模型,都没有考虑这种人口下降的情况。

   (4)模型没有涉及环境容量问题。

       虽然拥挤因子α一定程度上反映了环境约束,但这只是对城市内的人口密度约束,不是城市外围环境(团簇外的空白处)对城市扩张的约束。模型中的城市独立生长会不断的侵占周围空间,这是有环境代价的,这种环境代价在模型中没有体现。和生命体类似,城市本身也是一个耗散系统,维持其稳定运行引入负熵流,即需要向环境吸收电流、粮食等低熵有序的物质,排放三废等高熵结构无序物质,环境因此受到冲击。这相当于,团簇的扩张是受限的,一个团簇扩张的环境影响需要其它团簇的收缩得到补偿,SCA模型没有体现这种因素。

 

      最后应当指出的是,虽然SCA的城市生长模型没有完全反应实际的城市发展情况,但是这对缩放规律的适用性影响不大,大多只是对缩放因子的数值会有影响因为无论是网络内“边”的数量E对网络内成员数N超线性缩放还是网络体积V对N的亚线性缩放规律,都不涉及时间t,只关注某一时刻的大城市规模效应。如果针对时间使用缩放规律,比如t~N(t)^(1/d+1),需要更加慎重,比如,二维平面内的城市的人口增长并未呈现N(t)~t^ε的规律。



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昊点城市创新研究院“城市科学系列论文解读”:

1、城市的生长、创新、规律和生活节奏。“Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities”

2、城市规模缩放律及其偏差:揭示城市间财富、创新和犯罪的结构。“Urban Scaling and Its Deviations: Revealing Structure of Wealth, Innovation and Crime across Cities”。

3、中国地级城城市的生长与发展。“Growth and development in prefecture-level cities in China” 

4、网络系统生长中的规模缩放行为及其几何起源。“Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins》”

昊点城市创新研究院:

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复杂性科学和城市网络、量化城市和房价空间大数据、共享城市和平台经济、数字社区和社区营造、城市规划与空间创新、住房规划和未来居住。

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